Analysis Beispiele

$x^{2} + 6 y^{2} + 6 y = 20$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 6 y^{2} + 6 y) = \frac{d}{d x} (20)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 y^{2} + 6 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 6 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$2 x + 12 y y' + \frac{d}{d x} [6 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 12 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 12 y y' + 6 y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$12 y y' + 2 x + 6 y'$

Schritt 3

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 y y' + 2 x + 6 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y y' + 6 y' = - 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $6 y'$ aus $12 y y' + 6 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $6 y'$ aus $12 y y'$ heraus.

$6 y' (2 y) + 6 y' = - 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y'$ heraus.

$6 y' (2 y) + 6 y' \cdot 1 = - 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y' (2 y) + 6 y' \cdot 1$ heraus.

$6 y' (2 y + 1) = - 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y' (2 y + 1) = - 2 x$ durch $6 (2 y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y' (2 y + 1) = - 2 x$ durch $6 (2 y + 1)$ .

$\frac{6 y' (2 y + 1)}{6 (2 y + 1)} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y' (2 y + 1)}{6 (2 y + 1)} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{6 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (2 y + 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (2 y + 1))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (2 y + 1))}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{3 (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{3 (2 y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{3 (2 y + 1)}$