Analysis Beispiele

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ zu dividieren.

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.8.3

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$