Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Schritt 14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Schritt 15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Schritt 15.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Schritt 15.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 19

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 20

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 21

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 21.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Schritt 21.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 21.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 23

Um ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 25

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 25.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 25.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 25.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 25.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 26

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 27

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 28

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Schritt 29

Schreibe $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 30

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Schritt 31

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 31.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 1$ .

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Schritt 31.1.1

Potenziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 31.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 31.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 31.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 31.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$