Analysis Beispiele

$V = \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$V = \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (p r^{3}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $V$ nach $r$ ist $V'$ .

$V'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $p$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{p \cdot 4}{3}$ und $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Schritt 4.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p r^{3}}{3}]$

Schritt 4.2

Da $\frac{4 p}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 p r^{3}}{3}$ nach $r$ gleich $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} r^{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 p}{3} r^{2}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{12 p}{3}$ und $r^{2}$ .

$\frac{12 p r^{2}}{3}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12 p r^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 p r^{2})}{3}$

Schritt 4.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 p r^{2})}{3 (1)}$

Schritt 4.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 p r^{2}}{1}$

Schritt 4.4.4.2.4

Dividiere $4 p r^{2}$ durch $1$ .

$4 p r^{2}$

Schritt 4.4.5

Stelle die Faktoren von $4 p r^{2}$ um.

$4 r^{2} p$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$V' = 4 r^{2} p$

Schritt 6

Ersetze $V'$ durch $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 4 r^{2} p$