Analysis Beispiele

$\frac{e^{- t}}{1 + t^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = e^{- t}$ und $g (t) = 1 + t^{2}$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(1 + t^{2}) e^{- t}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((1 + t^{2}) e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 (1 + t^{2})$ als $- (1 + t^{2})$ um.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 1 \cdot 1 - t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t$ um.

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- e^{- t} t^{2}$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.1.2

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- 2 e^{- t} t$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- e^{- t}$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.1.4

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.1.5

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 4.5.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 (t) - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $- 1$ plus $- 1$

$\frac{e^{- t} (- t^{2} + (- 1 - 1) t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 1 t - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{e^{- t} ((- t^{2} - 1 t) - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{e^{- t} (t (- t - 1) + 1 (- t - 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- t - 1$ .

$\frac{e^{- t} ((- t - 1) (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{e^{- t} (- t - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1 (1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.4

Schreibe $- (t + 1)$ als $- 1 (t + 1)$ um.

$\frac{e^{- t} (- 1 (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.5

Potenziere $t + 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.6

Potenziere $t + 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} {(t + 1)}^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$