Analysis Beispiele

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.5.2

Addiere $2 x + x^{- 2}$ und $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{2} - \frac{1}{x}$ mit $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Schritt 5

Um $x (2 x + x^{- 2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.1.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 11.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 11.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Schritt 11.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Schritt 11.3.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Schritt 11.3.6

Addiere $2 x^{3}$ und $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Schritt 11.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 11.3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Schritt 11.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 11.3.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 11.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 11.3.7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Schritt 11.3.7.2.5

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Schritt 11.3.8

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$