Analysis Beispiele

$\frac{9}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{9}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$9 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- 9 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 9 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{4}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{4}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Schritt 4.6

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Schritt 4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Schritt 4.6.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- 9 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

Schritt 5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 9}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5.4.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5.4.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Schritt 5.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$