Analysis Beispiele

$y = \frac{(x + 2) x}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x + 2) x$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 2) x] - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 2]) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 2]) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x \frac{d}{d x} [x + 2]) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x (1 + \frac{d}{d x} [2])) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x (1 + 0)) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x \cdot 1) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) + (- x - 1 \cdot 2) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - (x \cdot x) - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{2} - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{2} - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 2 - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$