Analysis Beispiele

$y = x (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot 1$

Schritt 8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1$

Schritt 8.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 1$