Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{x} x - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x} x - x^{2} e^{x}$ um.

$\frac{2 x e^{x} - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $e^{x} x$ aus $2 e^{x} x - e^{x} x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $e^{x} x$ aus $2 e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} x (2) - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $e^{x} x$ aus $- e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $e^{x} x$ aus $e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)$ heraus.

$\frac{e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} x (2 - x)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Schritt 4.4.2.4

Dividiere $e^{- x} x (2 - x)$ durch $1$ .

$e^{- x} x (2 - x)$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} x \cdot 2 + e^{- x} x (- x)$

Schritt 4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- x} x$ .

$2 \cdot (e^{- x} x) + e^{- x} x (- x)$

Schritt 4.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot (e^{- x} x) - e^{- x} x \cdot x$

Schritt 4.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.1

Bewege $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} (x \cdot x)$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$

Schritt 4.9

Stelle die Faktoren in $2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$ um.

$2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x}$