Analysis Beispiele

$\frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 9$ und $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

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Schritt 3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 (2 x)$ und $- 2 (3 x)$ neu an.

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $2 \cdot 3 x$ von $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $3 \cdot 8$ und $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $24$ und $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 8$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 4$ heraus.

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $2 (x + 4)$ an.

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $4$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(x + 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$