Analysis Beispiele

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

Schritt 2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

Schritt 2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 3.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 9.2

Kombiniere ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 9.3

Bringe ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 13

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 14

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 16.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ um.

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.4

Mutltipliziere $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ heraus.

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Schritt 18.5.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5.1.4

Schreibe $- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ als $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ um.

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.7

Multipliziere $- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 18.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 18.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$