Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} + y^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0)$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x)$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} x$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$