Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + 0$ und $b = x$ .

$\frac{(x + 0 + x) (x + 0 - x)}{h}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{(x + x) (x + 0 - x)}{h}$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x (x + 0 - x)}{h}$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{2 x (x - x)}{h}$

Schritt 3.1.2.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 x \cdot 0}{h}$

Schritt 3.1.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 x}{h}$

Schritt 3.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$