Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 11

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 12

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 13

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 14

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 14.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 15

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 16

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 17

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 18

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 18.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 18.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 18.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 18.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 18.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 19

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 21.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 21.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 21.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 21.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 21.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 21.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 21.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 21.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 21.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 21.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 21.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2}$

Schritt 22

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 23

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 23.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 23.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 23.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 23.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Schritt 23.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 24

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 25

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 25.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 25.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 25.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 25.1.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 25.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 25.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 25.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 25.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.1.6

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 25.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 25.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 26

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 27

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 27.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 27.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 27.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 27.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 27.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 27.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 27.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 27.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 27.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 27.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 27.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 27.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 27.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 27.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 27.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 27.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 27.2.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Schritt 27.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 28

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 29