Analysis Beispiele

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Schritt 1

Potenziere $16$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$

Schritt 2

Schreibe $\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$ als $\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$ um.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 x^{4} + 4$ als $2^{2} (x^{4} + 1)$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4}]$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (1)}]$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{4}) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4} + 1)}]$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{2^{2} (x^{4} + 1)}]$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $65536$ .

$\frac{d}{d x} [131072 \sqrt{x^{4} + 1}]$

Schritt 3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} + 1}$ als ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Da $131072$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$131072 (\frac{{(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 11

Bringe ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$131072 (\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $131072$ .

$\frac{131072}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 13

Faktorisiere $2$ aus $131072$ heraus.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 ({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 17

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Schritt 18.2

Kombiniere $4$ und $\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \cdot 65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $4$ mit $65536$ .

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Schritt 18.4

Kombiniere $\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{262144 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$