Analysis Beispiele

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere ${(x - 4)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus $x (3 {(x - 4)}^{2})$ heraus.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus ${(x - 4)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ heraus.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $3 x$ und $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Schritt 1.4.3

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.4

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.5.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.5.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Schritt 1.4.6

Multipliziere $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.8

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Schritt 1.4.7.9

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Schritt 1.4.8

Subtrahiere $32 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Schritt 1.4.9

Addiere $32 x$ und $64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $96 x$ nach $x$ gleich $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $96$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $12 x^{2} - 72 x + 96$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} - 72 x + 96$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72 x$ nach $x$ gleich $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 72$ mit $1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $96$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $24 x - 72$ und $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x - 72$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 24 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $24$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 24$