Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Schritt 1

Schreibe $x^{3}$ als ${(x^{3})}^{1}$ um.

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = - d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 5.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$