Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über (x^2)/( Quadratwurzel von 16-x^2) nach x
Schritt 1
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 2
Vereinfache Terme.
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Schritt 2.1
Vereinfache .
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Schritt 2.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2.1.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.5
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.1.6
Schreibe als um.
Schritt 2.1.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
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Schritt 2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 5
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 6
Vereinfache.
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Schritt 6.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 6.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 7
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 8
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 10.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 10.1.1
Differenziere .
Schritt 10.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 10.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 10.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 11
Kombiniere und .
Schritt 12
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 13
Das Integral von nach ist .
Schritt 14
Vereinfache.
Schritt 15
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 15.1
Ersetze alle durch .
Schritt 15.2
Ersetze alle durch .
Schritt 15.3
Ersetze alle durch .
Schritt 16
Vereinfache.
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Schritt 16.1
Kombiniere und .
Schritt 16.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 16.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 16.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 16.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.3.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 16.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 17
Stelle die Terme um.