Analysis Beispiele

$\int \cos (\sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \sqrt{x}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

$\int 2 u \cos (u) d u$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u \cos (u) d u$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \cos (u)$ .

$2 (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Schritt 5

Schreibe $2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ als $2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ um.

$2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$