Analysis Beispiele

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

Schritt 2

Sei $u = 2 t + 5$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 2 t + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ um.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 t + 5$ .

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$