Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} | x | d x$

Schritt 1

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x$ positiv oder negativ ist.

$\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $1$ und $0$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- - \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 6.3.10

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0$

Schritt 6.3.12

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{2}$

Schritt 6.3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 6.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2}$

Schritt 6.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 7