Analysis Beispiele

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ positiv ist.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{2}$ an.

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5

Schreibe $- 1 \sin^{2} (t)$ als $- \sin^{2} (t)$ um.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\cos (t)$ und $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Schritt 15.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$