Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über (17x+5)/(2x^2+7x-4) nach x
Schritt 1
Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.
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Schritt 1.1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
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Schritt 1.1.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 1.1.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 1.1.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 1.1.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 1.1.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.1.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.1.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 1.1.2
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.3
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.4
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.7.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.7.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.7.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.7.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.7.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.7.4.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.6
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.7.7
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.7.8
Schreibe als um.
Schritt 1.1.8
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.8.1
Bewege .
Schritt 1.1.8.2
Bewege .
Schritt 1.2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 1.2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.3
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 1.3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 1.3.1
Löse in nach auf.
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Schritt 1.3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.1.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.2.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.2.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.1.4
Schreibe als um.
Schritt 1.3.2.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.3
Löse in nach auf.
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Schritt 1.3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.3.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.4.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.4.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.4.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.5
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 1.4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für und ermittelt wurden.
Schritt 1.5
Entferne die Null aus dem Ausdruck.
Schritt 2
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 4.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 4.1.1
Differenziere .
Schritt 4.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3
Berechne .
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Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 4.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.4.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 5
Vereinfache.
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Schritt 5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 7
Kombiniere und .
Schritt 8
Das Integral von nach ist .
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 10.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 10.1.1
Differenziere .
Schritt 10.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 10.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 10.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 10.1.5
Addiere und .
Schritt 10.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 11
Das Integral von nach ist .
Schritt 12
Vereinfache.
Schritt 13
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 13.1
Ersetze alle durch .
Schritt 13.2
Ersetze alle durch .