Analysis Beispiele

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u$ .

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{u}{3}$ und $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Schritt 6

Schreibe $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ als $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ um.

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Schritt 8.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ .

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}$ und $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$