Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{2 x + 1}$ .

$x (\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $30$ .

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Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9.2.6

Um $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 9.2.7

Kombiniere $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 9.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 9.2.9

Kombiniere $u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{1}{15}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 9.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Schritt 9.2.11

Kombiniere $- 3$ und $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Schritt 9.2.12

Faktorisiere $3$ aus $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Schritt 9.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Schritt 9.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Schritt 9.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 9.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 9.2.15

Um $x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 9.2.16

Kombiniere $x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 9.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 9.2.18

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Schritt 9.2.19

Schreibe $\frac{\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ als ein Produkt um.

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Schritt 9.2.20

Mutltipliziere $\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 9.2.21

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{15} (5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$