Analysis Beispiele

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 4 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 4 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sin (t)$ an.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $16 \cos^{2} (t)$ als ${(4 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $16$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$16 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - π$

Schritt 9.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 9.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Schritt 9.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Schritt 14.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $- π$ .

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3.2

Addiere $π$ und $π$ .

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$8 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$8 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$8 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$8 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$8 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Schritt 15.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$8 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Schritt 15.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 15.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$8 (π + \frac{0}{2})$

Schritt 15.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$8 (π + 0)$

Schritt 16

Addiere $π$ und $0$ .

$8 π$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 π$

Dezimalform:

$25.13274122 \dots$

Schritt 18