Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 1}$ als ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.11.3

Bringe ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

Schritt 1.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.13

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Schritt 1.16

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

Schritt 1.17

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.17.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

Schritt 1.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.17.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.17.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

Schritt 1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.20

Um ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.22

Multipliziere ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.22.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.22.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.22.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.22.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.23

Vereinfache ${(2 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.24

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Schritt 1.25

Schreibe $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ als ein Produkt um.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Schritt 1.26

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

Schritt 1.27

Multipliziere ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $2 x - 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.27.1

Mutltipliziere ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $2 x - 1$ .

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Schritt 1.27.1.1

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

Schritt 1.27.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 1.27.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 1.27.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 1.27.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ ist $y = 1$ .

$y = 1$

Schritt 5