Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.2
Differenziere.
Schritt 1.1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 1.1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 1.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.1.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.6
Addiere und .
Schritt 1.1.7
Subtrahiere von .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 2.3
Löse die Gleichung nach auf.
Schritt 2.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 2.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.3.4
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Die Werte, die die Ableitung gleich machen, sind .
Schritt 4
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum, sodass die Ableitung gleich oder nicht definiert ist.
Schritt 5
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 5.2.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.3
Addiere und .
Schritt 5.2.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 5.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 5.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 5.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 5.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Addiere und .
Schritt 6.2.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 6.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.2.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.2.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.2.3
Dividiere durch .
Schritt 6.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 7.2.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 7.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Addiere und .
Schritt 7.2.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 7.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.2.2
Addiere und .
Schritt 7.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 8
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Ansteigend im Intervall:
Abfallend im Intervall:
Schritt 9