Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, - 1$ .

$1, - 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{3}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- \frac{3}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, 1)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Schritt 9