Analysis Beispiele

Ermitteln, wo ansteigend/abfallend mittels Ableitungen f(x)=x/(x^2+1)
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.2
Differenziere.
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Schritt 1.1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 1.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.1.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.6
Addiere und .
Schritt 1.1.7
Subtrahiere von .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 2.3
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 2.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 2.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.3.4
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 2.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Die Werte, die die Ableitung gleich machen, sind .
Schritt 4
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum, sodass die Ableitung gleich oder nicht definiert ist.
Schritt 5
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 5.2.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.3
Addiere und .
Schritt 5.2.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 5.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 5.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 5.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 5.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 6.2.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Addiere und .
Schritt 6.2.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 6.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.2.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.2.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.2.3
Dividiere durch .
Schritt 6.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 7.2.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 7.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Addiere und .
Schritt 7.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.2.2
Addiere und .
Schritt 7.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 8
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Ansteigend im Intervall:
Abfallend im Intervall:
Schritt 9