Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=(2x^2+3)/(4x^2+5)
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 1.2.6.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.2.7
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.12
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.12.1
Addiere und .
Schritt 1.2.12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.1.1.1
Bewege .
Schritt 1.3.5.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.1.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.3.5.1.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.3.5.1.1.3
Addiere und .
Schritt 1.3.5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5.1.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.1.4.1
Bewege .
Schritt 1.3.5.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.1.4.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.3.5.1.4.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.3.5.1.4.3
Addiere und .
Schritt 1.3.5.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.5.2.2
Addiere und .
Schritt 1.3.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.5
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.6
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.7
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.12
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.12.1
Addiere und .
Schritt 2.12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.13
Potenziere mit .
Schritt 2.14
Potenziere mit .
Schritt 2.15
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.16
Addiere und .
Schritt 2.17
Subtrahiere von .
Schritt 2.18
Kombiniere und .
Schritt 2.19
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.20
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.20.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.20.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.20.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.20.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.20.3
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.20.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.20.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.20.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.20.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.20.5
Schreibe als um.
Schritt 2.20.6
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.20.7
Schreibe als um.
Schritt 2.20.8
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.20.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.20.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 4.1.2.6.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 4.1.2.7
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2.12
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.12.1
Addiere und .
Schritt 4.1.2.12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.3.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.3.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.1.1.1
Bewege .
Schritt 4.1.3.5.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.1.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.3.5.1.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.3.5.1.1.3
Addiere und .
Schritt 4.1.3.5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.5.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.5.1.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.1.4.1
Bewege .
Schritt 4.1.3.5.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.1.4.2.1
Potenziere mit .
Schritt 4.1.3.5.1.4.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.3.5.1.4.3
Addiere und .
Schritt 4.1.3.5.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.5.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.5.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.5.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.3.5.2.2
Addiere und .
Schritt 4.1.3.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.3.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 5.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 9.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.3
Addiere und .
Schritt 9.2.4
Potenziere mit .
Schritt 9.3
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.3.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.3.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.3.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.3.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.3.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.3
Addiere und .
Schritt 11.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2.3
Addiere und .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
Schritt 13