Analysis Beispiele

Ermittle die Fläche zwischen den Kurven y=81x , y=x^5 , x=0 , x=3
, , ,
Schritt 1
Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.
Schritt 1.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.2.2.3
Schreibe als um.
Schritt 1.2.2.4
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.2.2.5
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.5.1
Vereinfache.
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Schritt 1.2.2.5.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.2.5.1.2
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.5.1.2.1
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.2.2.5.1.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 1.2.2.5.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 1.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4
Setze gleich .
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 1.2.5.2.3
Vereinfache .
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Schritt 1.2.5.2.3.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.2.3.3
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.2.3.4
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.2.3.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.2.5.2.3.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.2.5.2.4
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 1.2.5.2.4.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.2.5.2.4.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.2.5.2.4.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 1.2.6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.6.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.6.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.7
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.7.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.7.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.7.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.7.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.7.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.7.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.7.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.2.7.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.7.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.7.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.2.8
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Berechne bei .
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Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Setze für in ein, löse dann nach auf.
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Schritt 1.3.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.2.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2
Vereinfache .
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Schritt 1.4.2.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.4.2.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.3
Faktorisiere aus.
Schritt 1.4.2.4
Schreibe als um.
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Schritt 1.4.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.2.4.2
Schreibe als um.
Schritt 1.4.2.4.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5
Berechne bei .
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Schritt 1.5.1
Ersetze durch .
Schritt 1.5.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.2.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.5.2.2
Potenziere mit .
Schritt 1.5.2.3
Faktorisiere aus.
Schritt 1.5.2.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.5.2.4.2
Schreibe als um.
Schritt 1.5.2.4.3
Potenziere mit .
Schritt 1.5.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.6
Berechne bei .
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Schritt 1.6.1
Ersetze durch .
Schritt 1.6.2
Potenziere mit .
Schritt 1.7
Berechne bei .
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Schritt 1.7.1
Ersetze durch .
Schritt 1.7.2
Setze für in ein, löse dann nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.7.2.2
Potenziere mit .
Schritt 1.8
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 2
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 3
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
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Schritt 3.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 3.2
Multipliziere mit .
Schritt 3.3
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3.4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.5
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.6
Kombiniere und .
Schritt 3.7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.8
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.9
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 3.9.1
Kombiniere und .
Schritt 3.9.2
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 3.9.2.1
Berechne bei und .
Schritt 3.9.2.2
Berechne bei und .
Schritt 3.9.2.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.1
Potenziere mit .
Schritt 3.9.2.3.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.9.2.3.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 3.9.2.3.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 3.9.2.3.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.3.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.9.2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.5
Addiere und .
Schritt 3.9.2.3.6
Kombiniere und .
Schritt 3.9.2.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.8
Potenziere mit .
Schritt 3.9.2.3.9
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.9.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.9.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.9.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.9.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.10
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.9.2.3.11
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.11.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.11.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.11.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.11.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.11.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.11.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.9.2.3.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.9.2.3.13
Addiere und .
Schritt 3.9.2.3.14
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.9.2.3.15
Subtrahiere von .
Schritt 3.9.2.3.16
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.16.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.16.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.9.2.3.16.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.9.2.3.16.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.9.2.3.16.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.9.2.3.16.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4