Analysis Beispiele

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$81 x = x^{5}$

Schritt 1.2

Löse $81 x = x^{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$81 x - x^{5} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $81 x - x^{5}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $81 x$ heraus.

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{5}$ heraus.

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ heraus.

$x (81 - x^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9$ und $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.5.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Schritt 1.2.2.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Schritt 1.2.2.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Schritt 1.2.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $9 + x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $9 + x^{2}$ gleich $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $9 + x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 1.2.5.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 1.2.6

Setze $3 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.7

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 1.2.7.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 1.2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{5}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = {(0)}^{5}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{5}$

Schritt 1.3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 3 i$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $3 i$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache ${(3 i)}^{5}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$y = 3^{5} i^{5}$

Schritt 1.4.2.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$y = 243 (i^{4} i)$

Schritt 1.4.2.4

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 1.4.2.4.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 1.4.2.4.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 1.4.2.4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Schritt 1.4.2.5

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$y = 243 i$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - 3 i$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- 3 i$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache ${(- 3 i)}^{5}$ .

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Schritt 1.5.2.1

Wende die Produktregel auf $- 3 i$ an.

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Schritt 1.5.2.2

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$y = - 243 (i^{4} i)$

Schritt 1.5.2.4

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 1.5.2.4.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 1.5.2.4.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 1.5.2.4.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Schritt 1.5.2.5

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$y = - 243 i$

Schritt 1.6

Berechne $y$ bei $x = - 3$ .

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Schritt 1.6.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Schritt 1.6.2

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$y = - 243$

Schritt 1.7

Berechne $y$ bei $x = 3$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$y = {(3)}^{5}$

Schritt 1.7.2

Setze $3$ für $x$ in $y = {(3)}^{5}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.7.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3^{5}$

Schritt 1.7.2.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$y = 243$

Schritt 1.8

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Schritt 3.4

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $81$ aus dem Integral.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Schritt 3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.9.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Schritt 3.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Schritt 3.9.2.2

Berechne $\frac{x^{6}}{6}$ bei $3$ und $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.9.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.5

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.6

Kombiniere $81$ und $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.7

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.8

Potenziere $3$ mit $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $6$ .

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Schritt 3.9.2.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Schritt 3.9.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Schritt 3.9.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 3.9.2.3.11.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Schritt 3.9.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.11.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Schritt 3.9.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Schritt 3.9.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 3.9.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Schritt 3.9.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Schritt 3.9.2.3.13

Addiere $\frac{243}{2}$ und $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Schritt 3.9.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{729 - 243}{2}$

Schritt 3.9.2.3.15

Subtrahiere $243$ von $729$ .

$\frac{486}{2}$

Schritt 3.9.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $486$ und $2$ .

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Schritt 3.9.2.3.16.1

Faktorisiere $2$ aus $486$ heraus.

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Schritt 3.9.2.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Schritt 3.9.2.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.9.2.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{243}{1}$

Schritt 3.9.2.3.16.2.4

Dividiere $243$ durch $1$ .

$243$

Schritt 4