Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{5 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{5 x}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{5 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{5 x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{5 x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{5 x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{5 x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{5 x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 7.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{5 x}$

Schritt 7.1.5

Addiere $0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{5 x}$

Schritt 7.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{5 x}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 x}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 (x)}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 0}{5 x}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$