Analysis Beispiele

$s = t^{2} \ln (| t |)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (| t |))$

Schritt 2

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = | t |$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| t |$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $| t |$ .

$t^{2} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{| t |}$ und $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $| t |$ nach $t$ ist $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{2}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{t^{2}}{| t |}$ mit $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{2} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.6

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.7

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{t^{3}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.8

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.9

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{3}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (2 t)$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 3.13.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{t^{3}}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{3}$ und $t^{2}$ .

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Schritt 3.13.2.2.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{t^{2} t}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 3.13.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 3.13.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 3.13.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t}{1} + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 3.13.2.2.2.4

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = t + 2 t \ln (| t |)$

Schritt 5

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t + 2 t \ln (| t |)$