Analysis Beispiele

$e^{3 x} \cos (2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{3 x}$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$e^{3 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{3 x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \cdot 3)$

Schritt 5.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 \cdot e^{3 x})$

Schritt 5.3.3

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$