Analysis Beispiele

$\ln^{2} (x)$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln^{2} (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x^{2})$ als $2 \ln (x)$ um.

$\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x)$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$

Schritt 9

Schreibe $\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$ als $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$ um.

$\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$