Analysis Beispiele

$x y^{2} = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 x y y'$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{2} + 2 x y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' = - y^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x y y' = - y^{2}$ durch $2 x y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x y y' = - y^{2}$ durch $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{2 x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{2 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$