Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Dann ist $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.1.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.1.4.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.1.4.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Schritt 1.1.4.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ ein.

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Schritt 1.3.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ ein.

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Schritt 1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{3}$ , $d u_{3}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u_{3} |)$ bei $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ ist ungefähr $7.52439138$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Schritt 7.1.2

Um $e^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $e^{2}$ mit $e^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Schritt 7.1.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Dezimalform:

$0.66250137 \dots$

Schritt 9