Analysis Beispiele

$x = \tan (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec^{2} (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sec^{2} (y) y' = 1$ um.

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (y) y' = 1$ durch $\sec^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (y) y' = 1$ durch $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (y)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ als ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ um.

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$