Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 9$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$2 \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$2 \ln (| x^{2} + 9 |) + C$