Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} d t + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} t^{\frac{2}{3}} d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{2}{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{0})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $t^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ bei $0$ und $- 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $0$ .

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$0 - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.9

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$0 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.11

Subtrahiere $\frac{3}{4}$ von $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.12

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.13

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.15

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.16

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 5.2.3.17.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 (0)}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.17.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.17.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.18

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.3.19

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 5.2.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 5.2.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

Schritt 5.2.3.21

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

Schritt 5.2.3.22

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{- 3}{5})$

Schritt 5.2.3.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4} - (0 - - \frac{3}{5})$

Schritt 5.2.3.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 + 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 5.2.3.25

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 + \frac{3}{5})$

Schritt 5.2.3.26

Addiere $0$ und $\frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{3}{5}$

Schritt 5.2.3.27

Um $- \frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 5.2.3.28

Um $- \frac{3}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.3.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.29.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.3.29.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.3.29.3

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4}$

Schritt 5.2.3.29.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{20}$

Schritt 5.2.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 \cdot 5 - 3 \cdot 4}{20}$

Schritt 5.2.3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.31.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{- 15 - 3 \cdot 4}{20}$

Schritt 5.2.3.31.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 15 - 12}{20}$

Schritt 5.2.3.31.3

Subtrahiere $12$ von $- 15$ .

$\frac{- 27}{20}$

Schritt 5.2.3.32

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{20}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{27}{20}$

Dezimalform:

$- 1.35$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{7}{20}$

Schritt 7