Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{2} | x | d x$

Schritt 1

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x$ positiv oder negativ ist.

$\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $2$ und $0$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- - \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.9.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 2 + 0 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.3.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 + 0$

Schritt 6.3.13

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Schritt 6.3.14

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.3.15

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.17.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Schritt 6.3.17.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{2}$

Schritt 8