Analysis Beispiele

$\int_{36}^{4} 9 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Kombiniere $9$ und $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ .

$\int_{36}^{4} \frac{9 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int_{36}^{4} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 3

Schreibe $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ als ein Produkt um.

$9 \int_{36}^{4} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (y)$ und $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

Schritt 5.2

Kombiniere $y^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{y}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

Schritt 5.4

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - (2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 7.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ bei $4$ und $36$ .

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

Schritt 9.2

Berechne $2 y^{\frac{1}{2}}$ bei $4$ und $36$ .

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$9 (\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.4

Berechne den Exponenten.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 (\ln (4) \cdot 4 - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (4)$ .

$9 (4 \cdot \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.10

Berechne den Exponenten.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) \cdot 12 - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.12

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.13

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.16

Berechne den Exponenten.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.18

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.19

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 9.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 9.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{1}))$

Schritt 9.3.21

Berechne den Exponenten.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6))$

Schritt 9.3.22

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 12))$

Schritt 9.3.23

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 \cdot - 8)$

Schritt 9.3.24

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

Dezimalform:

$- 193.11344835 \dots$