Analysis Beispiele

$\int x^{8} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{8}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{9} x^{9}) - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x^{9}$ .

$\ln (x) \frac{x^{9}}{9} - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{9}}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int x^{9} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{9}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x^{9}}{x} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{9}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x} d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x^{1}} d x)$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x^{8}}{1} d x)$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{8}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int x^{8} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} \int x^{8} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} x^{9} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} x^{9} + C)$ als $\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$ um.

$\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{9} x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{9}$ und $x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} x^{9} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{81} x^{9} + C$

$\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{81} x^{9} + C$