Analysis Beispiele

$\int 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ als $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + C$