Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 6.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 6.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.7

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 6.2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Schritt 6.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Schritt 6.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Schritt 6.2.10

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{3}{16}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{16}$

Dezimalform:

$0.1875$

Schritt 8