Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Dann ist $d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x^{3}}$ ein.

$u_{lower} = \frac{1}{1^{3}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x^{3}}$ ein.

$u_{upper} = \frac{1}{2^{3}}$

Schritt 1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} \int_{1}^{\frac{1}{8}} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $\frac{1}{8}$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{\frac{1}{8}}) - e^{1})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} (e^{\frac{1}{8}} - e)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} (- e)$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{\frac{1}{8}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} - \frac{1}{3} (- e)$

Schritt 5.3

Multipliziere $- \frac{1}{3} (- e)$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) e$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{1}{3} e$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Dezimalform:

$0.52837779 \dots$

Schritt 7