Analysis Beispiele

$\int \csc^{3} (x) d x$

Schritt 1

Wende die Reduktionsformel an.

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\csc (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ als $- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ um.

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\cot (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\csc (x)$ und $\frac{\cot (x)}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Schritt 3.2.3

Um $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ und $2$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.9.2

Dividiere $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ durch $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$