Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 1) (x + 3) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 1.4

Bewege $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 (x^{2} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2 + 1} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 1.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 3 d x$

Schritt 2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $1$ und $- 1$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 14.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 14.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 14.4

Berechne $- 3 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5

Vereinfache.

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Schritt 14.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{1 - 1}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$4 (\frac{0}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 14.5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$4 \frac{4 (0)}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.5.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{0}{1}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.5.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 \cdot 0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 12 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.13

Addiere $1$ und $1$ .

$0 + 12 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.14

Kombiniere $12$ und $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{12 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.15

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$0 + \frac{24}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $3$ .

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Schritt 14.5.16.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.5.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{8}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.16.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$0 + 8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.17

Addiere $0$ und $8$ .

$8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.19

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 - \frac{1 - 1}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.21

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$8 - \frac{0}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 14.5.22.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$8 - \frac{2 (0)}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.5.22.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - \frac{0}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.22.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 - 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.24

Addiere $8$ und $0$ .

$8 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.25

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$8 - 3 + 3 \cdot - 1$

Schritt 14.5.26

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 - 3 - 3$

Schritt 14.5.27

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$8 - 6$

Schritt 14.5.28

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$2$

Schritt 15