Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 2.11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 3.10

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{8}$

Schritt 3.12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{8}$

Schritt 3.12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $\frac{3}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ als ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{7}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.11

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{16}$

Schritt 4.11.3

Bringe $x^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$