Analysis Beispiele

$x^{3} - x y + y^{2} = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - (x y') - y + 2 y y'$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 2 y y' - y = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ durch $- x + 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ durch $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 2 y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $- (3 x^{2} - y)$ als $- 1 (3 x^{2} - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.9

Schreibe $- (x - 2 y)$ als $- 1 (x - 2 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Schritt 5.3.3.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$